Optimización

Optimización

Objetivo

Dar a conocer que es la optimización

Optimización:

En matemáticas, estadísticas, ciencias empíricas, ciencia de la computación, o economía, optimización matemática (o bien, optimización o programación matemática) es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.​

En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Notación

Los problemas de optimización se expresan a menudo con una notación especial. A continuación se muestran algunos ejemplos.

Mínimo y Máximo valor de una función

Considere la siguiente notación:

${\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;(x^{2}+1)}$

Esta denota el valor mínimo de la función objetivo ${\displaystyle x^{2}+1}$, cuando x se selecciona del conjunto de números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$. El valor mínimo en este caso es ${\displaystyle 1}$ y ocurre para ${\displaystyle x=0}$.

De modo similar, la notación

${\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}$

expresa el valor máximo de la función objetivo 2x, siendo x cualquier número real. En este caso, no existe tal máximo, luego no hay un valor óptimo acotado.

Argumentos de la entrada óptima

Considérese la siguiente expresión:

${\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}$

o de manera equivalente

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{sujeto a:}}\;x\in (-\infty ,-1].}$

Esta representa el valor (o valores) del argumento de x en el intervalo ${\displaystyle (-\infty ,-1]}$ que minimizan (o maximizan) la función objetivo x² + 1 (y no el valor mínimo que alcanza la función objetivo para dichos valores). En este caso, la respuesta es x = -1, puesto que x = 0 no es factible, es decir no pertenece al dominio del problema.

De modo similar,

${\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}$

que equivalente a

${\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{sujeto a:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}$

representa al par ${\displaystyle (x,y)}$ (o pares) que minimizan (o maximizan) el valor de la función objetivo ${\displaystyle x\cos(y)}$, con la restricción añadida de que x se encuentra en el intervalo ${\displaystyle [-5,5]}$(nuevamente, el valor mínimo de la función no importa). En este caso, las soluciones son los pares de la forma (5, 2kπ) y (−5,(2k+1)π), donde k recorre todos los enteros.

Arg min y arg max a veces aparecen escritos como argmin y argmax, y quieren decir argumento del mínimo y argumento del máximo.